国科大本科生分享学习经验【数学篇①】

  • 本科学生会 (党委宣传部/新闻中心)
  • 创建于 2020-03-26
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编者按:
  在抗击疫情的特殊时期,为了帮助同学们更好地利用网络学习,做好新学期以及未来的学习规划,国科大本科学生会发起了线上学习经验分享活动,陆续邀请不同专业同学分享学习心得和经验。以下为我们分享的是2016级数学与应用数学专业本科生柯杰铭。柯杰铭于2016年从厦门大学附属实验中学考入国科大,就读数学与应用数学专业。学业导师是国科大博士生导师、中科院数学与系统科学研究院张纪峰研究员。未来将从事随机系统的建模与辨识方向的学习与研究。
  其实,数学专业并没有一个统一的学习方法,只是大家都找到了适合自己的思维方式。所以本次的分享仅针对那些尚在摸索的同学,分享一些从其他老师同学处获得的,可能比较具有普适性的学习经验。
  按我的理解,数学专业学习中遇到的困难,大多集中在如何理解抽象。这其中包括抽象的概念,以及抽象的证明。下面介绍一些我自己学习过程中觉得行之有效的方法。
方法一:先考虑简单的情形

  对于一些复杂的概念或者复杂的定理,如果我们觉得理解起来比较抽象,可以先考察一些简单的情形,以帮助我们寻找一些更加直观的感觉。
  一个很好的例子是关于σ-代数的条件期望。关于σ-代数的条件期望是通过Radon定理定义的,相对比较抽象。但如果这是个由分割生成的σ-代数呢?这个时候我们发现,此时它跟关于分割的条件期望是一致的,而后者我们是可以直接写出来的,是清晰的。反过来我们再去理解关于σ-代数的条件期望,似乎就不那么抽象了。

方法二:先考虑具体的情形

  进组之后,我发现导师们一直在强调一件事情:理解一个定理的证明,我们未必一上来就考虑一般的抽象的情况。我们大可以把我们已知的某个例子代入,在特殊的情况下考察这个证明。这样我们对定理证明的理解或许会更立体。举例而言,有的大一同学可能觉得“西罗三”定理的证明有点抽象,那么我们是不是可以把一些特殊的例子带入,比如对称群?
  除此之外,特殊反例的构造和掌握往往也需要留意。这些非常特殊例子往往可以帮我们迅速对一个结论是否正确作出大致的判断。

方法三:数学实验
  我们的课程设计当中相对没有太强调数学实验,但对于想走应用数学这条路的同学来说,这也是尤其重要的一部分。
  比如欧拉方程的轨迹,我们通常是利用能量守恒和角动量守恒对应的两个首次积分对应的两个曲面相交得到的。但是随着能量或者角动量模长的变化,其交线又是如何变化的?此时我们可以通过绘图软件(我利用的是GeoGebra),直接在电脑上进行演示。结果就变得比较直观。
  
  除此之外,对于某些特定的问题,比如数列或者随机过程相关的问题,我们可以利用编程软件(例如MATLAB)进行数值模拟,以帮助我们对问题获得一个直观的印象。又或者我们可以利用编程迅速生成出一些我们需要的例子,然后直接利用代码进行验证。这都是完全可行的。
方法四:交流
 
  遇到实在想不明白的问题,尽量不要稀里糊涂地糊弄过去。找老师或者同学交流,或许他们可以给你帮助。即使会了,有机会也可以听听别人的想法,说不定他们注意到了一些我们没有想到的问题,或者有更棒的见解。
责任编辑:高塬